Algèbre

Schémas en barres · Modèle d'équilibre · Motifs évolutifs

À quoi ça sert ?

Pour résoudre un problème qui a des valeurs à déterminer, on peut utiliser un schéma en barres ou un modèle d'équilibre.

Le but n'est pas de deviner : c'est de dessiner ce qu'on ne connaît pas. Une fois le dessin fait, la réponse se lit presque toute seule.

I · Le schéma en barres

Chaque quantité devient une barre. Si une quantité est le double d'une autre, sa barre est deux fois plus longue.

La méthode en 4 temps

1
Je repère la plus petite quantité. Elle vaut 1 part.
2
J'exprime toutes les autres quantités en parts.
3
Je compte le nombre total de parts.
4
Je divise le total par le nombre de parts : j'obtiens la valeur d'une part. Puis je multiplie.

L'exemple du cahier

Lors d'un jeu, 540 points sont distribués aux trois premiers. Le 1er reçoit le triple du 2e, le 2e reçoit le double du 3e. Combien de points reçoit chacun ?

Résolution Le 3e = 1 part. Le 2e = 2 parts. Le 1er = 3 × 2 = 6 parts.
Total : 1 + 2 + 6 = 9 parts → 540 ÷ 9 = 60 points la part.
3e = 60 · 2e = 120 · 1er = 360.
Vérification : 360 + 120 + 60 = 540 ✓

👉 Le réflexe qui sauve : toujours vérifier en additionnant à la fin. Si la somme ne retombe pas sur le total, c'est qu'une barre a le mauvais nombre de parts.

II · Le modèle d'équilibre

Une balance à plateaux est à l'équilibre si la masse sur chaque plateau est identique : les plateaux sont à la même hauteur et l'aiguille est verticale.

Le principe Une balance à l'équilibre reste à l'équilibre si on ajoute ou si on soustrait les mêmes masses sur chaque plateau.

Exemple

On cherche la masse du carré ■ et celle du triangle ▲.

Résolution en deux temps Balance A : ▲ + ▲ + ▲ = 27, donc 3 ▲ = 27 et ▲ = 9.
Balance B : ■ + ■ + ▲ = 25. Je retire ▲ (soit 9) des deux côtés : 2 ■ = 25 − 9 = 16, donc ■ = 8.
Vérification : 8 + 8 + 9 = 25 ✓

👉 Deux gestes autorisés, et seulement deux : retirer la même chose des deux côtés, et diviser les deux côtés par le même nombre.

III · Les motifs évolutifs

Une suite de figures qui grandit toujours de la même façon. La question est : et à l'étape 10 ? à l'étape 100 ?

La méthode

1
Je cherche ce qui s'ajoute à chaque étape : c'est le pas.
2
Je cherche ce qui ne bouge jamais : c'est la partie fixe.
3
J'écris la règle, puis je l'utilise pour n'importe quelle étape.
La règle nombre de carrés = pas × numéro de l'étape + partie fixe Ici : 3 × n + 2. À l'étape 10 : 3 × 10 + 2 = 32 carrés.

👉 Piège classique : croire que l'étape 10 vaut « 10 fois l'étape 1 ». Faux, à cause de la partie fixe qu'on compterait 10 fois au lieu d'une.

Prêt ?

Le cours reste là, tu peux y revenir quand tu veux.

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